递推数列求单调性

适用形式：${\displaystyle x_{n+1}=f(x_n)}$。

有常见的三种方法有助于求解数列的单调性：

1. 作差法：
   即，对原式做恒等变形，${\displaystyle x_{n+1}=f(x_n)\to x_{n+1}-x_n=f(x_n)-x_n}$，然后通过后面的式子的大小关系来证明单调性；
2. 拉格朗日中值定理：
   还是利用上述变形 ${\displaystyle x_{n+1}-x_n=f(x_n)-f(x_{n-1})=f^{\prime }({\xi }_n)(x_n-x_{n-1})}$，然后通过数学归纳法可得 ${\displaystyle x_{n+1}-x_n=f^{\prime }({\xi }_n)\cdot f^{\prime }({\xi }_{n-1})\cdots f^{\prime }({\xi }_2)(x_2-x_1)}$。
   • 即若 ${\displaystyle f^{\prime }(x)>0}$，那么数列必然单调。
   • 若 ${\displaystyle f^{\prime }(x)<0}$，那么子数列 ${\displaystyle \{x_{2n+1}\},\{x_{2n}\}}$，必然单调。
3. 蛛网图解法。该方法很多时候，可以为我们分类讨论提供指引；