逆矩阵的求法

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公式法

利用公式：

A−1=1|A|A∗

不过这个方法由于过于繁琐，一般不怎么用。不过对于低阶矩阵，例如二阶，在忘记公式的时候还是可以求一求的。
伴随矩阵

初等变换法

这是求逆矩阵的基本方法，需要重点掌握：

(A|E)→初等行变换(E|A−1)

定义法

即：

AB=E 或 BA=E⟹A 可逆, 且 A−1=B

在不确定矩阵的具体元素时，我们通常使用定义法。

分块矩阵

这是一个非常重要的求法，可以极大的简化计算量。

[BOOC]−1=[B−1OOC−1];[OBCO]=[OC−1B−1O]

不过这个分块矩阵常常配合初等矩阵的逆来求。

初等矩阵的求逆公式

主要有三个公式：

  1. E(i,j)−1=E(i,j)；交换矩阵的第 ii 行和第 jj 行。
  2. E(i(k))−1=E(i(1k))；将矩阵的第 ii 行乘以一个非零标量 kk。
  3. E(ij(k))−1=E(ij(−k))；将矩阵的第 ii 行加上第 jj 行的 kk 倍。

初等矩阵均是可逆矩阵，且其逆矩阵仍然是初等矩阵。