连续函数在有界闭区域的最值问题

连续函数 ${\displaystyle f(x,y)}$ 上存在最大值：

• 若最大值在内部取到，则最大值一定是驻点或一阶偏导不存在的点。
• 若最大值在边界取到，则最大值点一定是边界最大值点。
  所以最大值要么在内部驻点处取到，要么在内部一阶偏导不存在的点处取到，要么在边界最大值点处取道。所以对于这类问题，我们处理的步骤为：

1. 求出在 ${\displaystyle D}$ 内部所有驻点和一阶偏导不存在的点（边界上的点和外部的点舍去不求）；
2. 求出 ${\displaystyle D}$ 在边界上的最大值 $A$；
   1. 边界往往对应一个等式关系 ${\displaystyle \varphi (x,y)=0}$，我们直接利用条件极值问题就可以了。
3. 将 ${\displaystyle D}$ 内部所有驻点和一阶偏导不存在的点处函数值和 $A$ 比较，最大的那个就是函数在 ${\displaystyle D}$ 上的最大值；