表格积分法

适用范围

表格积分法常用来处理 $\int p (x) g (x) d x$ 类积分（其中 $p (x)$ 是多项式函数）, 因为 $p (x)$ 求若干次导后必为 0.例如积分： $\int x^{3} \cdot e^{x} d x$ .
另外的一个适用范围是在 $p (x)$ 求了 $k$ 次导（记为 $p^{(k)} (x)$ ）， $g (x)$ 求了 $k$ 次积分后（记为 $g_{k} (x)$ ），有 $p^{(k)} (x) \cdot g_{k} (x) = n \cdot p (x) g (x)$ 。即两种相乘是原函数的实数倍。例如，积分： $\int \sin x \cdot e^{x} d x$ .

具体的过程：

列一个表格，第一行为求导行，第二行为积分行；
将 $p (x)$ 置于第一行， $g (x)$ 置于第二行。
对第一行连续求导，第二行连续积分。直到 $p^{(k)} (x) = 0$ ，或者 $p^{(k)} (x) \cdot g_{k} (x) = n \cdot p (x) g (x)$ ；

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对于复合函数，可以去复合，对内层函数进行换元即可。