空间直线的位置关系与线性代数的综合

探讨直线的位置关系就是看代表该直线的方向向量之间的关系，讨论方向向量之间的关系可以转化为线性方程组以及矩阵的秩。我们通过两个方面来讨论直线的关系：

假设两条直线的表达式为： $\frac{x - a_{1}}{m} = \frac{y - b_{1}}{n} = \frac{z - c_{1}}{l}, \frac{x - a_{2}}{r} = \frac{y - b_{2}}{s} = \frac{z - c_{2}}{t}$ 。两条直线的方向向量分别为 $α = [\begin{matrix} m \\ n \\ l \end{matrix}], β = [\begin{matrix} r \\ s \\ t \end{matrix}]$ ，分别过点 $(a_{1}, b_{1}, c_{1})^{T}, (a_{2}, b_{2}, c_{2})^{T}$ ，经过两点的直线的方向向量为 $λ = (a_{1} - a_{2}, b_{1} - b_{2}, c_{1} - c_{2})^{T}$ 。

方向向量平行。那么 $α, β$ 成比例。
- 重合：向量 $λ$ 平行于 $α, β$ ；
- 不重合：向量 $λ$ 不平行于 $α, β$ ；
方向向量不平行，那么 $α, β$ 线性无关。
- 相交于一点： $α, β, λ$ 共面。即 $det (λ, α, β) = 0$ ，向量 $λ$ 可由向量 $α, β$ 线性表出。
- 异面： $α, β, λ$ 不共面，即 $det (λ, α, β) \neq 0$ 。向量 $α, β, λ$ 线性无关。