空间平面的位置关系与线性代数的综合

本质上，这种题目就是将三个空间曲线的位置问题转化为三个线性方程组的求解问题。总体有以下两步：
为了更好的讨论问题，我们将三个平面设为 $a_{i} x + b_{i} y + c_{i} z = d_{i}$ ，那么三个平面之间的关系所对应的线性方程组矩阵就为：

A = [\begin{matrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix}], \overset{―}{A} = [\begin{matrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} & d_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} & d_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} & d_{3} \end{matrix}], α_{i} = [\begin{matrix} a_{i} \\ b_{i} \\ c_{i} \end{matrix}]

看三平面是否有交集；
- 三面没有公共点，那么就说明该线性方程组无解，对应的秩的关系为 $r (A) < r (\overset{―}{A})$ ；
- 三面交于一点，那么该线性方程组有唯一解，对应的秩的关系为 $r (A) = 3$ ；
- 三面交于线或者面，那么该方程组有无数个点，对应的秩为 $r (A) < 3$ 。
看其中两个平面 $π_{1}, π_{2}$ 的关系；
- $π_{1}$ 平行于 $π_{2}$ ，那么法向量平行，对应的线性方程组的至少有两行成比例的行向量，故而 $r (A) \leq 2$ ；
- $π_{1}$ 与 $π_{2}$ 相交，那么其法向量不平行，即线性方程组的行向量至少有一组向量线性无关，故而 $r (A) \geq 2$ ；