特征值的几何重数

代数重数 (algebraic multiplicity) 和几何重数 (geometric multiplicity) 是描述特征值性质的两个重要概念, 它们之间有着密切的联系。

1. 代数重数:
   代数重数是指特征值作为特征多项式 $det(A-\lambda I)$ 的根的重数。换句话说, 它表示了特征值在特征多项式中作为因子出现的次数。

2. 几何重数:
   几何重数是指对应于特征值 $\lambda$ 的线性无关特征向量的个数。它表示了特征值 $\lambda$ 对应的特征向量空间的维数。

3. 代数重数与几何重数的关系:
   对于任意特征值 $\lambda$, 它的几何重数总是小于等于代数重数。即:

   $$1\le \text{geometric multiplicity}\le \text{algebraic multiplicity}$$

   • 当几何重数等于代数重数时, 我们称矩阵 $A$ 对于特征值 $\lambda$ 是对角化的。此时, 特征值 $\lambda$ 对应的特征向量空间的维数等于代数重数。

   • 当几何重数小于代数重数时, 我们称矩阵 $A$ 对于特征值 $\lambda$ 是不可对角化的。此时, 特征值 $\lambda$ 对应的特征向量空间的维数小于代数重数。

4. Jordan 标准型:
   当矩阵不可对角化时, 我们可以将其转化为 Jordan 标准型。Jordan 标准型是一种近似对角矩阵的形式, 它在主对角线上有特征值, 在主对角线上方有 1 或 0, 其他位置都是 0。Jordan 块的大小与特征值的几何重数有关。

理解代数重数和几何重数的关系, 对于判断矩阵是否可对角化, 以及研究矩阵的 Jordan 标准型等问题, 都有重要意义。在物理学、工程学和计算机科学等领域, 这些概念经常用于解决各种实际问题, 如微分方程求解、振动分析、稳定性分析等。