泰勒展开求等价无穷小

若 $A = a_{n} x^{n} + a_{n + 1} x^{n + 1} + \dots$ ，那么 $A \sim a_{n} x^{n}$ 。即 $A$ 的泰勒展开第一个不为 $0$ 的项等价于 $A$ ；
设 $A$ 和 $B$ 的泰勒展开第一对不同的项是 $a x^{n}$ 和 $b x^{n}$ $(a \neq b)$ ，则 $A - B \sim (a - b) x^{n}$ ：

例如，求 $\sin x \cos x - \ln (1 + x)$ 的等价无穷小量。

\begin{aligned} \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2 x \\ \sin (2 x) = (2 x) - \frac{(2 x)^{3}}{6} + \dots \\ \ln (1 + x) = x - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} - \dots \\ ⟹ \frac{1}{2} \sin (2 x) - \ln (1 + x) = \frac{1}{2} x^{2} + \dots \\ ⟹ \sin x \cos x - \ln (1 + x) \sim \frac{1}{2} x^{2} \end{aligned}