正定二次型的判断

对于 n 元二次型 ${\displaystyle x^{T}Ax}$ 正定的

• 充分必要条件：
  1. A 的正惯性指数为 n；
  2. A 与 E 合同，即存在可逆矩阵 C，使得 ${\displaystyle C^{T}AC=E}$；
  3. A 的所有特征值均为正数；
  4. A 的各阶顺序主子式均大于 0；
• 必要条件：
  1. ${\displaystyle a_{ii}>0}$；
  2. ${\displaystyle |A|>0}$；

矩阵的合同
正定二次型