定义

对于任意的 ${\displaystyle ϵ>0}$，总存在正整数 ${\displaystyle N}$，当 ${\displaystyle n\ge N}$ 时，恒有 ${\displaystyle |x_n-a|\le ϵ}$，则称数列 ${\displaystyle \{x_n\}}$ 的极限是 ${\displaystyle a}$，或者称数列 ${\displaystyle \{x_n\}}$ 收敛于 ${\displaystyle a}$。

以上的不等号可以为改为严格不等号。

推论

该定义的等价形式为：对于任意给定的 ${\displaystyle 0<ϵ<s}$，总存在正整数 ${\displaystyle N}$，当 ${\displaystyle n\ge N}$ 时，恒有 ${\displaystyle |x_n-a|\le tϵ}$。

判断 ${\displaystyle x_n}$ 的存在性

根据 ${\displaystyle h(x_n)}$ 判断 ${\displaystyle x_n}$ 极限的存在性问题，由反函数连续性定理推导得来：

1. ${\displaystyle h(x)}$ 在区间 ${\displaystyle [a,b]}$ 上严格单调且连续，${\displaystyle x_n\in [a,b]}$，若 ${\displaystyle h(x_n)\to h(c)}$，则 ${\displaystyle x_n\to c}$，其中 ${\displaystyle a<c<b}$；
2. ${\displaystyle h(x)}$ 在区间 ${\displaystyle [a,b]}$ 上严格单调且连续，${\displaystyle x_n\in [a,b]}$，若 ${\displaystyle h(x_n)}$ 极限存在，则 ${\displaystyle x_n}$ 的极限存在；

性质

数列极限的保号性

相关问题

• 数列极限的求解；