多个函数乘积的泰勒展开

对于函数 ${\displaystyle f,g}$，其中 ${\displaystyle f}$ 为 $m$ 阶无穷小，$g$ 为 $n$ 阶无穷小，将 ${\displaystyle f\cdot g}$ 展开到 $p$ 阶的方法为：

1. 将 $f$ 展开到 $p-n$ 阶；
2. 将 $g$ 展开到 $p-m$ 阶；

对于三个函数的情形，也是同理，对于 ${\displaystyle f\cdot g\cdot h}$，分别是 ${\displaystyle m,n,k}$ 阶的无穷小：

1. 将 f 展开到 ${\displaystyle p-n-k}$；
2. 将 g 展开到 ${\displaystyle p-m-k}$；
3. 将 h 展开到 ${\displaystyle p-m-n}$ 阶；

例如，对于函数 ${\displaystyle \ln (1+x)\sin x}$ 展开到 4 阶，首先 ${\displaystyle \ln (1+x),\sin x}$ 均为一阶无穷小。
于是就将 ${\displaystyle \ln (1+x),\sin x}$ 都展开到 3 阶即可，即：

这种展开的本质是什么？

1. 如果展开的过高，会造成无用的计算量，如果只用展开到 k 阶，但是两个函数的泰勒展开的乘积后，却出现了高于 k 阶的项，这是没有必要的。例如：
   我们要将函数 ${\displaystyle \ln (1+x)\sin x}$ 展开到 4 阶，那么假如展开的过高，例如 ${\displaystyle [x-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{4}{x}^4+o(x^4)]\cdot [x-\frac{1}{3}{x}^3+o(x^3)]}$，则会出现项 ${\displaystyle \frac{1}{12}{x}^7}$，而该项显然是不用考虑的；
2. 如果展开的过低，会使得运算无法进行下去，例如泰勒展开式的乘积后，最高次项为 ${\displaystyle x^2}$，那么就无法与 ${\displaystyle x^4}$ 进行极限运算；

故而，所谓的 ${\displaystyle f}$ 为 $m$ 阶无穷小，$g$ 为 $n$ 阶无穷小，就是将 f 展开的最高阶数的限制。不是一个法则。