复合函数的泰勒展开

已知 $g$ 的阶数为 $n$ （ $n$ 阶无穷小），怎么使得 $f (g)$ 展开到 $s$ 阶？

取 $m$ 使得 $m n \geq s$ ；
$f$ 展开到 $m$ 阶，得到 $f (g) = a_{0} + a_{1} g + \dots + a_{m} g^{m} + o (g^{m})$ ;
再考虑 $g$ 展开到多少阶；

为什么要看 g 的等价无穷小阶数？

因为，无穷小阶数决定了泰勒展开后的 $o (g^{k})$ 是否能与 $x^{m}$ 消去。例如，假如泰勒展开后余项为 $o ((x^{2})^{2})$ , 但是分母是 $x^{5}$ , 那么就会出问题。

例如，对于 $(1 + x)^{\frac{1}{x}}$ 展开到 4 阶。我们首先要对幂指函数进行转化 $e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} = e^{1 + (\frac{\ln (1 + x)}{x} - 1)} = e \cdot e^{\frac{\ln (1 + x) - x}{x}}$ .
我们发现 $(\frac{\ln (1 + x) - x}{x}) \sim k x$ ，所以 n 为 1，取 m 为 4. 将 f 展开到 4 阶。