1

假设三阶矩阵 $A$ 的特征值为 $2,2,4$，证明 $A$ 相似对角化 ${\displaystyle ⟹}$ ${\displaystyle r(A-2E)=1}$。

若三阶矩阵 A 有特征值 2,2,4，那么有其对应的特征向量也应该有三个。

并且特征值 2 对应两个线性无关的特征向量，从而根据特征值的定义可知，${\displaystyle Ax=2x}$ 有两个解，即 ${\displaystyle (A-2E)x=0}$ 有两个线性无关的解。

于是就要求该方程基础解系解向量的个数为 2，而个数 = A 的阶数 - ${\displaystyle r(A-2E)}$。

故而有 ${\displaystyle r(A-2E)=1}$。

2

证明：n 阶矩阵 ${\displaystyle A=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ 1& 1& \cdots & 1\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 1& 1& \cdots & 1\end{array}\right]}$ 相似于矩阵 ${\displaystyle B=\left[\begin{array}{cccc}0& \cdots & 0& 1\\ 0& \cdots & 0& 2\\ ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& \cdots & 0& n\end{array}\right]}$。

首先 A 矩阵是秩一矩阵。所以，我们不需要特别去求特征值。