函数可导的判定

f (x) 在 x_{0} 处可导 {\begin{cases} \Rightarrow f^{'} (x) 在 x_{0} 处有定义 \\ \Rightarrow f (x) 在 x_{0} 处连 \\ \Rightarrow f (x) 在 U_{δ} (x_{0}) 内有定义 \\ ⇏ f (x) 在 U_{δ} (x_{0}) 内连续，反例 f (x) = {\begin{matrix} x^{2}, x 为有理数 \\ 0, x 为无理数 \end{matrix} \\ ⇏ f (x) 在 U_{δ} (x_{0}) 内可导 \end{cases}

总结

f (x) 在 x_{0} 某邻域内可导 \Rightarrow {\begin{cases} \Rightarrow f^{'} (x) 在 U_{δ} (x_{0}) 内有定义 \\ \Rightarrow f (x) 在 U_{δ} (x_{0}) 内连续 \\ ⇏ f^{'} (x) 在 U_{δ} (x_{0}) 内连续 反例 f (x) = {\begin{matrix} x^{2} \sin \frac{1}{x}, x \neq 0 \\ 0, x = 0 \end{matrix} \end{cases}