找中间项

如果我们要计算 ${\displaystyle \underset{x\to x_1}{lim}[Ps-Qr]}$，若 ${\displaystyle P\sim Q\cap s\sim r}$，那么我们可以将原式改写成 ${\displaystyle [Ps-Pr]+[Pr-Qr]}$ 或者 ${\displaystyle Ps-sQ+sQ-Qr}$.

例如，对于 ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}[\sqrt{x^2+1}\ln (2+\frac{1}{x\ln x})-x\ln 2]}$，我们凑成 ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}[(\sqrt{x^2+1}\ln (2+\frac{1}{x\ln x})-\sqrt{x^2+1}\ln 2)+(\sqrt{x^2+1}\ln 2-x\ln 2)]}$ 即可。

因为， ${\displaystyle \sqrt{x^2+1}\sim x\cap \ln (2+\frac{1}{x\ln x})\sim \ln 2}$。

找等价无穷小

^ww 4803
对于极限 ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{1-\cos x\sqrt{\cos (2x)}}{x^2}}$，我们发现 ${\displaystyle 1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2}$，于是我们可以凑出 ${\displaystyle \cos x}$ 项：

等价无穷小。

差分凑项

若看到函数有嵌套递归的形式，则可以考虑使用差分凑项。例如：${\displaystyle \frac{\tan (\tan x)-\sin (\sin x)}{\tan x-\sin x}}$, ${\displaystyle \frac{1-\cos x\sqrt{\cos (2x)}\sqrt[3]{\cos (3x)}\dots \sqrt[n]{\cos (nx)}}{x^2}}$，${\displaystyle \frac{\tan \tan \tan x-x}{x}}$.

我们以 ${\displaystyle \frac{\tan \tan x-\sin \sin x}{\tan x-\sin x}}$ 为例，我们设 ${\displaystyle \frac{\tan \tan x-\sin \sin x}{\tan x-\sin x}}$ 为 ${\displaystyle a_2}$，那么 ${\displaystyle \frac{\tan x-\sin x}{\tan x-\sin x}=a_1}$，我们通过以下式子计算该极限：

同理，若要计算 ${\displaystyle a_n}$，则:

我们只需要分别计算出 ${\displaystyle \underset{}{lim}[a_n-a_{n-1}],\dots ,\underset{}{lim}[a_2-a_1]}$ 即可。