配方法

基本步骤

即将二次型多项式转化为全是平方项，即二次型矩阵为对角矩阵 ${\displaystyle \mathrm{\Lambda }}$，所以转化为标准形的过程本质上等于将 A 矩阵进行相似对角化。构造可逆矩阵求对角矩阵

没有平方项

如果碰到了没有平方项的二次型，我们可以先利用平方差公式，凑出平方项：
例如，对于 ${\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=2x_1{x}_2+4x_2{x}_3}$，我们先做如下变换：

就可以凑出平方项了。

利用正交变换

基本步骤

1. 写出二次型矩阵 A；
2. 求出 A（设为 3 阶）的特征值 ${\displaystyle {\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3}$；
3. 求出相应的特征向量 ${\displaystyle {\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3}$；
4. 改造特征向量为 ${\displaystyle r_1,r_2,r_3}$：
   1. 如果特征值不同只需要单位化；
   2. 如果特征值有重根，要先判断特征向量是否已正交，如果没有正交，需要使用 schmidt 正交化；
5. 构造正交矩阵 ${\displaystyle Q=(r_1,r_2,r_3)}$, 则经 ${\displaystyle x=Qy}$ 有 ${\displaystyle x^{T}Ax=y^{T}Ay={\lambda }_1{y}_1^2+{\lambda }_2{y}_2^2+{\lambda }_3{y}_3^2}$；

典型例题

“例3” (pdf)