二次型

定义

含有 n 个变量 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的二次齐次函数

\begin{aligned} f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = & a_{11} x_{1}^{2} + a_{22} x_{2}^{2} + \dots + a_{n n} x_{n}^{2} \\ + 2 a_{12} x_{1} x_{2} + 2 a_{13} x_{1} x_{3} + \dots + 2 a_{1 n} x_{1} x_{n} \\ + 2 a_{23} x_{2} x_{3} + \dots + 2 a_{2 n} x_{2} x_{n} \\ + \dots + 2 a_{n - 1, n} x_{n - 1} x_{n} \end{aligned}

称为 n 元二次型，若规定 $a_{i j} = a_{j i}, \forall i, j = 1, 2, \dots, n$ ，则二次型有矩阵表示

\begin{aligned} f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) & = x^{T} A x = \\ [\begin{array}{c} x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n} \end{array}] [\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array}] [\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{array}] \end{aligned}

其中 $x = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})^{T}$ ， $A = [a_{i j}]$ ，且 $A^{T} = A$ 是对称矩阵，称 A 为二次型的矩阵，秩 $r (A)$ 为二次型的秩，记为 $r (f)$ 。

我们可以发现，二次型矩阵就是实对称矩阵。

定义太过于一般性，研究价值不大，所以我们更倾向于研究一些特殊的二次型：