题目描述

关系

内容

X 国王有一个地宫宝库，是 $n\times m$ 个格子的矩阵，每个格子放一件宝贝，每个宝贝贴着价值标签。

地宫的入口在左上角，出口在右下角。

小明被带到地宫的入口，国王要求他只能向右或向下行走。

走过某个格子时，如果那个格子中的宝贝价值比小明手中任意宝贝价值都大，小明就可以拿起它（当然，也可以不拿）。

当小明走到出口时，如果他手中的宝贝恰好是 $k$ 件，则这些宝贝就可以送给小明。

请你帮小明算一算，在给定的局面下，他有多少种不同的行动方案能获得这 $k$ 件宝贝。

输入格式

第一行 $3$ 个整数，$n,m,k$，含义见题目描述。

接下来 $n$ 行，每行有 $m$ 个整数 $C_i$ 用来描述宝库矩阵每个格子的宝贝价值。

输出格式

输出一个整数，表示正好取 $k$ 个宝贝的行动方案数。

该数字可能很大，输出它对 $1000000007$ 取模的结果。

数据范围

$1\le n,m\le 50$,
$1\le k\le 12$,
$0\le C_i\le 12$

输入样例 1：

2 2 2
1 2
2 1

输出样例 1：

2

输入样例 2：

2 3 2
1 2 3
2 1 5

输出样例 2：

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问题分析

最初思路

使用三维 dp，定义 f[v][i][j] 表示当前已经走到了 (i, j)，已经选择了 v 件物品的方案数量。

状态转移方程为：

if ma[i][j] > ma[i - 1][j]
	f[k][i][j] = f[k - 1][i - 1][j]
if ma[i][j] > ma[i][j - 1]
	f[k][i][j] += f[k - 1][i][j - 1]

f[k][i][j]++

思路分析

执行流程设计

总结

代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 55, mod = 1000000007;

int n, m, k;
int f[N][N][13][14];
int w[N][N];
int main()
{
    cin >> n >> m >> k;
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            cin >> w[i][j];
            w[i][j]++;
        }
    }
    
    f[1][1][1][w[1][1]] = 1;
    f[1][1][0][0] = 1;
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            if (i == 1 && j == 1) continue;
            
            for (int u = 0; u <= k; u++) {
                for (int v = 0; v <= 13; v++) {
                    // 不取
                    int &x = f[i][j][u][v];
                    x = (x + f[i - 1][j][u][v]) % mod;
                    x = (x + f[i][j - 1][u][v]) % mod;
                    
                    // 取
                    if (u > 0 && w[i][j] == v) {
                        for (int c = 0; c < v; c++) {
                            x = (x + f[i][j - 1][u - 1][c]) % mod;
                            x = (x + f[i - 1][j][u - 1][c]) % mod;
                        } 
                    }
                } 
            }
        }
    }
    
    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= 13; i++) res = (res + f[n][m][k][i]) % mod;
    cout << res;
    return 0;
}