常规求法

流程

1. 通过 ${\displaystyle |\lambda E-A|=0}$ 求出所有的 ${\displaystyle \lambda }$，包括重根；
2. 将求出的所有 ${\displaystyle \lambda }$ 依次代入方程 ${\displaystyle (\lambda E-A)x=0}$ 求出基础解系。每一个不同的 ${\displaystyle \lambda }$ 都有其对应的特征向量，其特征向量就为其基础解系。

经典例题

1. “例 1” (pdf)；
2. “例 2” (pdf)；

简便求法

在学这个简单求法之前，需要知道两个简单的推论：

1. ${\displaystyle |\lambda E-A|=0}$，从而矩阵 ${\displaystyle r(\lambda E-A)<n}$ 。即必定有不止一个解（特征向量）；
2. 若有两行的向量不成比例，那么矩阵的秩必定 ${\displaystyle r(A)\ge 2}$；

根据上述的两个结论。对于以下类型的矩阵，我们可以这么处理：
假如，我们已经求出了特征向量 ${\displaystyle \lambda }$，将 ${\displaystyle \lambda }$ 代入矩阵 ${\displaystyle \lambda E-A}$ 后，得到如下矩阵：

我们发现，该矩阵的第二行和第三行是不成比例的，所以 ${\displaystyle r(\lambda E-A)\ge 2}$。同时，根据上述结论，又有 ${\displaystyle r(\lambda E-A)<3}$，所以 ${\displaystyle r(\lambda E-A)=2}$。从而，我们可以直接把第一行，置为 0：

接下来，我们求特征向量（基础解系）的过程就变得容易了不少了。

特征值