多元函数极值的充分条件

对于一个二元函数 $f (x, y)$ ，其极值的充分条件如下：

如果 $(x_{0}, y_{0})$ 是函数 $f (x, y)$ 的一个极值点，则在该点的一阶偏导数必须满足：

\frac{\partial f}{\partial x} (x_{0}, y_{0}) = 0 和 \frac{\partial f}{\partial y} (x_{0}, y_{0}) = 0

计算 Hessian 矩阵 $H$ ：

H = [\begin{matrix} \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} & \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} \\ \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} \end{matrix}]

在点 $(x_{0}, y_{0})$ 处，计算 Hessian 行列式：

D = det (H) = \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} \cdot \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} - {(\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y})}^{2}

如果 $D > 0$ 且 $\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} (x_{0}, y_{0}) > 0$ ，则 $(x_{0}, y_{0})$ 是一个局部极小值点。
如果 $D > 0$ 且 $\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} (x_{0}, y_{0}) < 0$ ，则 $(x_{0}, y_{0})$ 是一个局部极大值点。
如果 $D < 0$ ，则 $(x_{0}, y_{0})$ 不是极值点。
如果 $D = 0$ ，则无法确定该点的性质，需要进一步分析。

这些条件可以推广到多元函数的情况，通常涉及到更高阶的偏导数和 Hessian 矩阵的计算。