多元函数极值定义

二元函数极值点的广义定义和狭义定义如下：

1. 广义极值点的定义

广义极值点指的是在某一点邻域内，函数值达到最大或最小的点。这包括局部极大值点和局部极小值点。

• 局部极大值点：对于二元函数 $f(x,y)$，如果存在一个包含点 $(x_0,y_0)$ 的邻域 $U$，在该邻域内，对于所有 $(x,y)\in U$，都有 $f(x,y)\le f(x_0,y_0)$，则称 $(x_0,y_0)$ 是 $f$ 的一个局部极大值点。

• 局部极小值点：同理，如果在邻域 $U$ 内，对于所有 $(x,y)\in U$，都有 $f(x,y)\ge f(x_0,y_0)$，则称 $(x_0,y_0)$ 是 $f$ 的一个局部极小值点。

广义极值点不排除存在其他特殊点（如鞍点），即在某些方向上函数值增大，而在另一些方向上函数值减小。

2. 狭义极值点的定义

狭义极值点则更加严格，要求函数在该点附近的所有方向上严格达到最大或最小值，不允许存在方向上函数值等于该极值的情况。

• 严格局部极大值点：对于二元函数 $f(x,y)$，如果存在一个包含点 $(x_0,y_0)$ 的邻域 $ U $，在该邻域内，对于所有 $(x,y)\in U$ 且 $(x,y)\ne (x_0,y_0)$，都有 $f(x,y)<f(x_0,y_0)$，则称 $(x_0,y_0)$ 是 $f$ 的一个严格局部极大值点。

• 严格局部极小值点：同理，如果在邻域 $U$ 内，对于所有 $(x,y)\in U$ 且 $(x,y)\ne (x_0,y_0)$，都有 $f(x,y)>f(x_0,y_0)$，则称 $(x_0,y_0)$ 是 $f$ 的一个严格局部极小值点。

狭义极值点排除了函数在极值点附近存在与极值相等的其他函数值，确保极值点在其邻域内是唯一的最高点或最低点。