单精度浮点数

1. 单精度浮点数（float）

• 总位数：32位
• 组成：
  • 符号位：1位
  • 指数：8位
  • 尾数：23位

结构示意图

| 符号位 (1位) | 指数 (8位) | 尾数 (23位) |

编码步骤

1. 确定符号位：

   • 正数：0
   • 负数：1

2. 计算指数：

   • 指数偏移量（Bias）为127。
   • 真实指数 = 指数部分 - 127。
   • 存储的指数值 = 真实指数 + 127。

3. 计算尾数：

   • 将数值归一化为1.xxxxxx的形式，省略隐含的1，只存储后面的部分。
   • 如果尾数不足23位，用0填充；如果超过23位，进行舍入。

示例

将十进制数 -12.75 转换为float：

1. 符号位：负数，符号位为1。

2. 转换为二进制：

   • 12.75 → 1100.11₂
   • 归一化：1.10011 × 2³

3. 指数：

   • 真实指数 = 3
   • 存储的指数 = 3 + 127 = 130 → 10000010₂

4. 尾数：

   • 10011 后补0至23位：10011000000000000000000

5. 最终编码：

   符号位 | 指数       | 尾数
   1      | 10000010 | 10011000000000000000000
   

好的，我将把所有以 "()" 包围的 LaTeX 数学公式转换为以 "$" 包围的数学公式。

IEEE 754 单精度（float 型）浮点数是如何表示不同类型的数值（如零、无穷大、规格化数、非规格化数和未定义数），以下是一个详细的表格：

详细说明

1. 符号位（Sign Bit）：

   • 0 表示正数。
   • 1 表示负数。

2. 指数位（Exponent）：

   • 规格化数：指数位介于 00000001 到 11111110（十进制 1 到 254），实际指数为 E - 127。
   • 非规格化数：指数位全为 00000000，实际指数固定为 -126。
   • 特殊情况：
     • 全为 1 表示无穷大或 NaN。
     • 全为 0 且尾数全为 0 表示零。

3. 尾数位（Mantissa/Fraction）：

   • 规格化数：假定有一个隐含的 1，即数值形式为 1.F。
   • 非规格化数：不假定隐含的 1，数值形式为 0.F。
   • 特殊情况：
     • 尾数全为 0 时，根据指数位判断是否为零或无穷大。
     • 尾数非全零且指数全 1 时表示 NaN。

补充说明

• 规格化数提供了最大的精度和动态范围，因为其尾数的最高有效位始终为 1，避免了冗余表示。
• 非规格化数允许表示比最小规格化数更接近零的数值，但其精度较低。
• **NaN（非数）**用于表示未定义或不可表示的数值，如 0 除以 0 或负数的平方根。
  • 静默 NaN（Quiet NaN）：不会引发异常，通常用于传递错误状态。
  • 信号 NaN（Signaling NaN）：用于引发异常或中断，指示存在未处理的错误。

总结

IEEE 754 标准通过不同的位模式有效地表示了多种数值类型，包括零、无穷大、普通浮点数、次正常数以及非数（NaN）。理解这些表示方式有助于在计算机系统中正确处理浮点数运算，尤其是在处理极端数值和特殊情况时。