1

证明 ${\displaystyle r(A)=1⟹}$ A 的所有特征值为 ${\displaystyle tr(A),0,0,\dots 0}$，其中 0 有 n - 1 个。

考虑齐次线性方程组：

从而 ${\displaystyle Ax=0}$ 的解的个数就为特征值 0 的个数。显然 ${\displaystyle Ax=0}$ 有 n-1 个非零解，故而特征值 0 的个数为 n-1。由特征值的性质：

从而矩阵 A 的另一个特征值为 ${\displaystyle tr(A)}$。证毕。

2

已知 ${\displaystyle \alpha }$ 为 n 维单位列向量，E 为 n 阶单位矩阵，证明：${\displaystyle E-\alpha {\alpha }^T}$ 不可逆。

证明不可逆，就是证明 ${\displaystyle det(E-\alpha {\alpha }^T)=0}$，又由于。由于 ${\displaystyle \alpha {\alpha }^T}$ 为秩一矩阵，所以其对应的特征值为 ${\displaystyle 0,0,\dots ,tr(\alpha {\alpha }^T)}$。对于秩一矩阵 ${\displaystyle tr(\alpha {\alpha }^T)=|\alpha |}$，由于 ${\displaystyle \alpha }$ 是单位向量，故而 ${\displaystyle tr(\alpha {\alpha }^T)=1}$ .

由特征值的性质，${\displaystyle E-\alpha {\alpha }^T}$ 的特征值为 ${\displaystyle 1,1,\dots ,1-tr(\alpha {\alpha }^T)}$。由于：

从而 ${\displaystyle det(E-\alpha {\alpha }^T)=0}$，故而 ${\displaystyle E-\alpha {\alpha }^T}$ 不可逆。

3

设 ${\displaystyle \alpha }$ 为三维单位列向量，E 为 3 阶单位矩阵，求 ${\displaystyle r(E-\alpha {\alpha }^T)}$。

由于 ${\displaystyle \alpha {\alpha }^T}$ 是秩一矩阵，故而很容易求得 ${\displaystyle E-\alpha {\alpha }^T}$ 的特征值为 1,1,0. 而 n 个对称矩阵的线性组合仍然为对称矩阵。由于 ${\displaystyle (\alpha {\alpha }^T{)}^T=({\alpha }^T{)}^T{\alpha }^T=\alpha {\alpha }^T}$，${\displaystyle \alpha {\alpha }^T}$ 是是实对称矩阵，所以，所以 ${\displaystyle E-\alpha {\alpha }^T}$ 是实对称对称矩阵，且必然相似于对角矩阵，该对角矩阵就是由其特征值组成的：

从而，${\displaystyle r(E-\alpha {\alpha }^T)=2}$。

4

证明：秩一矩阵（${\displaystyle tr(A)=1}$）若 ${\displaystyle A}$ 的迹 ${\displaystyle tr(A)=0}$，那么不可相似对角化，如果 ${\displaystyle tr(A)\ne 0}$ ，那么可以相似对角化。

由于秩一矩阵的特征值为 ${\displaystyle 0,0,\dots ,tr(A)}$ ，故而如果 ${\displaystyle tr(A)=0}$，那么就全为 0。也就是说，特征值 0 对应的特征向量必须要有 n 个才可以相似对角化。

考虑方程，${\displaystyle Ax=0}$，该方程的解的个数为 ${\displaystyle n-r(A)=n-1}$，由于 ${\displaystyle Ax=0x}$，故而 0 对应的特征向量的个数与该方程的解的个数相同，故而特征值 0 对应的解只有 n-1 个，故而不可相似对角化。

当 ${\displaystyle tr(A)\ne 0}$，特征值 0 对应的特征向量应该为 n-1，符合上面推导出的条件。故而，可以相似对角化。